瞬時周波数の定義について

はじめに

この記事では，瞬時周波数が数学的に矛盾なく定義できることを証明する．Flandrin (2008) や森勢（2018）など，多くの文献において，複素数値関数 $f(t)$ の瞬時角周波数は次のような形で定義される．

\omega(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\arg f(t)

ただし，偏角 $\arg f(t)$ の主値は $t$ についてなめらかに変化するように選ぶ．この操作を位相アンラッピングという．この記事では，偏角を含まない瞬時角周波数の式を導出し，適切な仮定の下では位相アンラッピングが可能であることを示す．

瞬時周波数

まず，より正確に瞬時周波数を定義する．

f(t)

を

C^{1}

級複素数値関数とする．時刻

t_{0}

において

f(t_{0})\neq 0

ならば，

t_{0}

のある開近傍で条件

f(t)=\lvert f(t)\rvert\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(t)}

を満たす，

C^{1}

級実数値関数

\varphi(t)

が存在する．

\varphi(t)

の微分係数

\omega(t_{0}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl\lvert_{t=t_{0}}\varphi(t)

を，関数 $f(t)$ の時刻 $t_{0}$ における瞬時角周波数 (instantaneous angular frequency) という．また，瞬時角周波数を $2\pi$ で割った値を瞬時周波数 (instantaneous frequency) という．

この定義で問題になるのは，関数 $\varphi(t)$ の存在と，瞬時角周波数 $\omega(t_{0})$ のwell-definednessである．このうち，瞬時角周波数のwell-definednessはすぐ示せる．実際，関数 $\varphi_{1}(t)$ ， $\varphi_{2}(t)$ が $\varphi(t)$ の条件を満たすとき

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t))} = 1, \quad\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t) \equiv 0\pmod{2\pi}

であり，関数 $\varphi_{1}(t)$ ， $\varphi_{2}(t)$ は連続なので， $\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)$ は定数関数である．よって

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi_{1}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi_{2}(t)

である．

関数 $\varphi(t)$ の存在を示すのに複素対数関数を使うので，少しだけ複素対数関数について説明する． $0$ でない複素数 $z$ の関数 $\operatorname{Log}z$ を，式

\operatorname{Log}z = \ln\lvert z\rvert+\mathrm{i}\operatorname{Arg}z

で定義する．ただし， $\ln\lvert z\rvert$ は自然対数， $\operatorname{Arg}z$ は偏角の主値であり，条件 $-\pi\lt\operatorname{Arg}z\leq\pi$ を満たすとする． $\operatorname{Log}z$ を複素対数関数 (complex logarithm) の主値という．関数 $\operatorname{Log}z$ は領域 $\lbrace z\in\mathbb{C}\mid z\notin(-\infty,0\rbrack\rbrace$ で正則であり，実数の自然対数と同じ式

\mathrm{e}^{\operatorname{Log}z} = z, \quad\operatorname{Log}(1+z) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^{n}\quad(\lvert z\rvert\lt 1)

が成り立つ．ただし，偏角の不定性が原因で $\operatorname{Log}(\mathrm{e}^{z})=z$ が成り立つとは限らない．

複素対数関数を利用して， $z$ と $z+\varDelta z$ の位相差を一次近似しよう．位相差は不定性

\arg(z+\varDelta z)-\arg z = \operatorname{Arg}\biggl(\frac{z+\varDelta z}{z}\biggr)+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})

があるので， $\lvert\varDelta z\rvert\ll\lvert z\rvert$ のとき絶対値が最小である

\operatorname{Arg}\frac{z+\varDelta z}{z}

を一次近似すると

\begin{gathered} \operatorname{Log}\frac{z+\varDelta z}{z} = \operatorname{Log}\biggl(1+\frac{\varDelta z}{z}\biggr) \simeq \frac{\varDelta z}{z},\\ \operatorname{Arg}\frac{z+\varDelta z}{z} \simeq \operatorname{Im}\frac{\varDelta z}{z} \end{gathered}

となる．よって， $z$ が実数 $t$ の関数であるとき

\begin{gathered} \frac{\operatorname{Arg}((z+\varDelta z)/z)}{\varDelta t} \simeq \operatorname{Im}\biggl(\frac{1}{z}\frac{\varDelta z}{\varDelta t}\biggr),\\ \lim_{\varDelta t\to 0}\frac{\operatorname{Arg}((z+\varDelta z)/z)}{\varDelta t} = \operatorname{Im}\biggl(\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\biggr) \end{gathered}

である．これは位相の変化率の極限だから，瞬時角周波数に相当するはずである．そこで，関数 $z=f(t)$ に対して

\begin{gathered} \omega(t) = \operatorname{Im}\biggl(\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\biggr),\\ \varphi(t) = \operatorname{Arg}(f(t_{0}))+\int_{t_{0}}^{t}\omega(\tau)\,\mathrm{d}\tau \end{gathered}

とおく（ただし $f(t_{0})\neq 0$ とする）．このとき，次の命題が成立する．

正数

\delta

を，

\lvert t-t_{0}\rvert\lt\delta

であるすべての

t

について

f(t) \neq 0, \quad\biggl\lvert\operatorname{Arg}\frac{f(t)}{f(t_{0})}\biggr\rvert \lt \pi

が成立するように十分小さくとる．このとき，命題

\lvert t-t_{0}\rvert \lt \delta \implies f(t) = \lvert f(t)\rvert\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(t)}

が成立する．

r=\lvert f(t)\rvert

，

x=\operatorname{Re}f(t)

，

y=\operatorname{Im}f(t)

とおく．

\lvert t_{1}-t_{0}\rvert\lt\delta

ならば

\ln\biggl\lvert\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}\biggr\rvert = \int_{\lvert f(t_{0})\rvert}^{\lvert f(t_{1})\rvert}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t

より

\begin{aligned} &\lvert f(t_{1})\rvert\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(t_{1})}\\ &= \lvert f(t_{0})\rvert\exp\biggl(\ln\biggl\lvert\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}\biggr\rvert+\mathrm{i}\varphi(t_{1})\biggr)\\ &= \lvert f(t_{0})\rvert\exp\biggl(\mathrm{i}\operatorname{Arg}(f(t_{0}))+\int_{t_{0}}^{t_{1}}\biggl(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}+\mathrm{i}\omega(t)\biggr)\,\mathrm{d}t\biggr)\\ &= f(t_0)\exp\biggl(\int_{t_{0}}^{t_{1}}\biggl(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}+\mathrm{i}\omega(t)\biggr)\,\mathrm{d}t\biggr) \end{aligned}

である．被積分関数は

\begin{gathered} \begin{aligned} \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} &= \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ &= \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ &= \operatorname{Re}\biggl(\frac{\bar{z}}{\lvert z\rvert^{2}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\biggr), \end{aligned}\\ \begin{aligned} \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}+\mathrm{i}\omega(t) &= \operatorname{Re}\biggl(\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\biggr)+\mathrm{i}\operatorname{Im}\biggl(\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\biggr)\\ &= \frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \end{aligned} \end{gathered}

と変形できるので

\int_{t_{0}}^{t_{1}}\biggl(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}+\mathrm{i}\omega(t)\biggr)\,\mathrm{d}t = \int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int_{\gamma}\frac{\mathrm{d}z}{z}

である．ただし， $\gamma$ は曲線 $\gamma(s)=f((1-s)t_{0}+st_{1})$ （ $0\leq s\leq 1$ ）である．

曲線 $\gamma$ は関数 $\operatorname{Log}(z/f(t_{0}))$ が正則である領域の内部にあり，また

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{Log}\frac{z}{f(t_{0})} = \frac{1}{z}

だから，コーシーの積分定理より

\int_{\gamma}\frac{\mathrm{d}z}{z} = \biggl\lbrack\operatorname{Log}\frac{z}{f(t_{0})}\biggr\rbrack_{f(t_{0})}^{f(t_{1})} = \operatorname{Log}\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}

である．よって

\lvert f(t_{1})\rvert\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(t_{1})} = f(t_{0})\exp\biggl(\operatorname{Log}\frac{f(t_{1})}{f(t_{0})}\biggr) = f(t_{1})

である．

参考文献

Flandrin, Patrick. “Time-Frequency Energy Distributions: An Introduction”. Time-Frequency Analysis: Concepts and Methods. Hlawatsch, Franz; Auger, François, eds. Wiley-ISTE, 2008, p. 18-36.
森勢将雅. 日本音響学会編. 音声分析合成. コロナ社, 2018, 272p., (音響テクノロジーシリーズ, 2).
矢田部浩平ほか. 小特集, 位相情報を考慮した音声音響信号処理: 位相変換による複素スペクトログラムの表現. 日本音響学会誌. 2019, vol. 75, no. 3, p. 147-155. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jasj/75/3/75_147/_article/-char/ja/, (参照 2023-08-30).

目次

はじめに

瞬時周波数

参考文献