まず，不動点が存在することを示す．任意に$x_{0}\in\mathcal{X}$をとる．$m\lt n$のとき

であり，$m\to\infty$では$q^{m}\to 0$だから，点列$\lbrace T^{n}(x_{0})\rbrace$はコーシー列である．よって，極限点$x^{\ast}$が存在する．また

であり，右辺は$n\to\infty$のとき$0$に収束する．よって$d(x^{\ast},T(x^{\ast}))=0$，$x^{\ast}=T(x^{\ast})$である．

最後に，不動点が一意であることを示す．$x^{\ast},x^{\ast\ast}\in\mathcal{X}$を$T$の不動点とすると

なので$d(x^{\ast},x^{\ast\ast})/(1-q)\leq 0$，$x^{\ast}=x^{\ast\ast}$である．

対偶を示す．$O_{2}\cap\partial O_{1}=\emptyset$とする．このとき$O_{2}\cap\bar{O}_{1}\cap O_{1}^{\mathrm{c}}=\emptyset$より，$O_{2}\cap\bar{O}_{1}\subseteq O_{1}$である．よって$O_{2}\subseteq O_{1}$だから，$O_{1}=O_{2}$である．

条件を満たす関数$\bm{f}$があると仮定する．

とおくと，任意の$\bm{x}\in\bar{B}^{d}$，$\bm{n}\in S^{d-1}$に対して

である．つまり，$\bm{f}_{t}$は$\bar{B}^{d}$から$\bar{B}^{d}$への関数であり，$S^{d-1}$上の点を変えない．また，$\bm{g}(\bm{x})=\bm{f}(\bm{x})-\bm{x}$に関して

なので，$C=\max\lbrace\lVert\bm{J}_{\bm{g}}(\bm{x})\rVert_{2}\mid\lVert\bm{x}\rVert\leq 1\rbrace$とおくと

である．

仮に，異なる$\bm{x}_{1},\bm{x}_{2}\in\bar{B}^{d}$の組で$\bm{f}_{t} (\bm{x}_{1})= \bm{f}_{t}(\bm{x}_{2})$を満たすものがあれば，$\bm{f}_{t}(\bm{x})=\bm{x}+t\bm{g}(\bm{x})$より

となる．よって，$t\lt 1/C$のとき$\bm{f}_{t}$は単射である．また，$tC\lt 1$のとき$\bm{J}_{\bm{f}_{t}}(\bm{x})=\bm{I}+t\bm{J}_{\bm{g}}(\bm{x})$の逆行列はノイマン級数

で書ける．よって，逆関数定理より$\bm{f}_{t}^{-1}$は$\bm{f}_{t}(B^{d})$全体で$C^{1}$級だから，制限$\bm{f}_{t}\rvert_{B^{d}}$は像$\bm{f}_{t}(B^{d})$との同相写像である．特に，像$\bm{f}_{t}(B^{d})$は開集合である．

$t\lt 1/C$の下で$\bm{f}_{t}(B^{d})=B^{d}$を示す．$\bm{f}_{t}(B^{d})\neq B^{d}$を仮定する．このとき，補題から$B^{d}\cap\partial(\bm{f}_{t}(B^{d}))$上の点$\bm{u}$が存在する．$\bm{u}\in\partial(\bm{f}_{t}(B^{d}))$なので，条件

を満たす点列$\lbrace\bm{x}_{n}\rbrace$がある．$\bar{B}^{d}$の点列コンパクト性から$\lbrace\bm{x}_{n}\rbrace$は収束部分列を持つ．この極限点を$\bm{a}$とおくと

である．$\bm{f}_{t}(B^{d})$は開集合だから境界と交わらない．よって，$\bm{a}$は$B^{d}$に属さないので，$\bar{B}^{d}\setminus B^{d}=S^{d-1}$に属する．すると$\bm{u}=\bm{f}_{t}(\bm{a})=\bm{a}$だが，これは$\bm{u}\in B^{d}$に矛盾する．したがって$\bm{f}_{t}(B^{d})=B^{d}$である．

ここで

とおく．$\det\bm{J}_{\bm{f}_{t}}(\bm{x})=\det((1-t)\bm{I}+t\bm{J}_{\bm{f}}(\bm{x}))$は$t$の多項式関数であるから，$U(t)$も$t$の多項式関数である．

$\det\bm{J}_{0}(\bm{x})=\det\bm{I}=1$かつ，$t\lt 1/C$のとき$\bm{J}_{\bm{f}_{t}}(\bm{x})$は正則行列なので，中間値の定理より

である．よって，変数変換$\bm{u}=\bm{f}_{t}(\bm{x})$により

となる．右辺の値は$t$によらないから，区間$0\leq t\lt 1/C$では$U'(t)=0$である．この条件を満たす多項式関数は定数関数のほかにないので，すべての$t$について$U(t)=\operatorname{vol}(\bar{B}^{d})$である．

$\bm{f}_{1}(\bm{x})=\bm{f}(\bm{x})\in S^{d-1}$だから，関数$\lVert\bm{f}(\bm{x})\rVert^{2}$の方向微分

は常に$0$である．$\mathop{\vphantom{}\nabla_{\bm{v}}}(\lVert\bm{f}(\bm{x})\rVert^{2})$を計算すると

となるので

である．よって，線形写像$T_{\bm{x}}\colon\bm{v}\mapsto\bm{J}_{\bm{f}}(\bm{x})\bm{v}$の像は$\operatorname{span}\lbrace\bm{f}(\bm{x})\rbrace$の直交補空間に含まれるから，$\operatorname{rank}\bm{J}_{\bm{f}}(\bm{x})=\operatorname{dim}(\operatorname{im}T_{\bm{x}})\lt n$である．すると$\det\bm{J}_{\bm{f}}(\bm{x})=0$，$U(1)=0$だが，これは$U(1)=\operatorname{vol}(\bar{B}^{d})$に矛盾する．したがって，条件を満たす関数$\bm{f}$は存在しない．

$\bm{f}\colon\bar{B}^{d}\to\bar{B}^{d}$を連続関数とする．ワイエルシュトラスの近似定理より，各成分が$\bm{x}$の多項式関数である関数$\bm{p}_{n}(\bm{x})$を

が成立するようにとれる．$\bm{q}_{n}(\bm{x})=n\bm{p}_{n}(\bm{x})/(n+1)$とおくと

なので，$\lbrace\bm{q}_{n}\rbrace$は$C^{1}(\bar{B}^{d},\bar{B}^{d})$上の関数列であり，$\bm{f}$に一様収束する．

各$\bm{q}_{n}$が不動点を持つことを示す．不動点がないと仮定する．このとき，$\lambda$に関する2次方程式

は，$\lambda=0$のとき左辺の値が負なので，正の解と負の解を1つずつ持つ．正の解を$\lambda(\bm{x})$とおくと，関数$\bm{g}(\bm{x})=\bm{q}_{n}(\bm{x})+\lambda(\bm{x})(\bm{x}-\bm{q}_{n}(\bm{x}))$は$C^{1}(\bar{B}^{d},S^{d-1})$に属する．また，$\bm{n}\in S^{d-1}$のとき

より$\lambda(\bm{n})=1$，$\bm{g}(\bm{n})=\bm{n}$である．これは補題に矛盾するので，$\bm{q}_{n}$は不動点を持つ．

各$n=1,2,\dotsc$に対して，関数$\bm{q}_{n}$の不動点を1つずつ選び，点列$\lbrace\bm{x}_{n}\rbrace$を定める．$\bar{B}^{d}$の点列コンパクト性から，点列$\lbrace\bm{x}_{n}\rbrace$の収束部分列$\lbrace\bm{x}_{n'}\rbrace$が存在する．この極限点を$\bm{a}$とおくと

なので，$n\to\infty$によって$\lVert\bm{a}-\bm{f}(\bm{a})\rVert\leq 0$が得られる．したがって，$\bm{a}$が$\bm{f}$の不動点である．

正の整数$n$を任意にとる．いずれの場合も$T(K)$は全有界なので，開球の族$\lbrace B_{1/n}(x_{n\mskip2mu\relax i})\rbrace_{i\in I}$が$T(K)$を被覆する有限点列$\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\rbrace_{i\in I}\subseteq T(K)$が存在する．

とおくと，すべての$x\in\mathcal{X}$について$\phi_{n}(x)$は凸包$\operatorname{co}\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\mid i\in I\rbrace$に属する．また，$\lVert x_{n\mskip2mu\relax i}-x\rVert\leq 1/n$でなければ$\lambda_{n\mskip2mu\relax i}(x)=0$だから

である．

$\operatorname{\overline{co}}\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\mid i\in I\rbrace$は有限次元ベクトル空間$\operatorname{span}\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\mid i\in I\rbrace$のコンパクト凸部分集合である．さらに，写像$\phi_{n}\circ T$の値域は$\operatorname{\overline{co}}\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\mid i\in I\rbrace$に含まれる．よって，ブラウワーの不動点定理より，$\operatorname{\overline{co}}\lbrace x_{n\mskip2mu\relax i}\mid i\in I\rbrace$上に$\phi_{n}\circ T$の不動点が存在する．各$n=1,2,\dotsc$に対して，写像$\phi_{n}\circ T$の不動点を1つずつ選び，点列$\lbrace a_{n}\rbrace$を定める．

まず，$T(K)$がコンパクト集合であるとき，$T$は不動点を持つことを証明する．$T(K)$が点列コンパクトなので，$\lbrace a_{n}\rbrace$は収束部分列$\lbrace a_{n'}\rbrace$を持つ．この極限点を$\alpha$とおくと，$\phi_{n}(T(a_{n}))=a_{n}$より

となる．$\lVert\phi_{n}(x)-x\rVert\leq 1/n$より極限値は$0$だから，$\alpha=T(\alpha)$である．

続いて，$K$が閉集合で，$T(K)$が相対コンパクト集合であるとき，$T$は不動点を持つことを証明する．$T(K)$の閉包が点列コンパクトなので，点列$\lbrace T(a_{n})\rbrace$は収束部分列$\lbrace T(a_{n'})\rbrace$を持つ．この極限点を$\alpha$とおくと，$\phi_{n}(T(a_{n}))=a_{n}$，$\lVert\phi_{n}(x)-x\rVert\leq 1/n$より

となる．よって，点列$\lbrace a_{n'}\rbrace$は$\alpha$に収束する．$K$が閉集合なので$\alpha\in K$であり，$T$は連続だから

である．

集合族$\lbrace U_{i}\rbrace$が$S$を被覆するとき，任意の$\varepsilon\gt 0$について$U_{i}'=\lbrace u+v\mid u\in U_{i}\;\mathrel{\textrm{and}}\;v\in B_{0}(\varepsilon)\rbrace$が$\operatorname{cl}(S)$の被覆となることに注意すればよい．

$\alpha(\operatorname{co}(S))\geq\alpha(S)$は$\operatorname{co}(S)\supseteq S$から直ちにしたがう．$\alpha(\operatorname{co}(S))\leq\alpha(S)$を示す．$\varepsilon\gt 0$を任意にとる．$\alpha(S)$の定義より，$S$の有限被覆$\lbrace U_{k}\rbrace_{k=1}^{n}$で

を満たすものが存在する．$U_{k}$を$\operatorname{co}(U_{k})$に置き換えても直径は変わらない（付録を見よ）ので，$U_{k}$は初めから凸集合であると仮定しておく．

$\varDelta$を標準($n-1$)-単体

とする．$\varDelta$は$\mathbb{R}^{n}$のコンパクト集合だから，有限点列$\lbrace\bm{\eta}_{i}\rbrace_{i\in I}\subseteq\varDelta$が存在して

を満たす．ただし

である．ここで

とおく．

証明は後に回すが，任意の$x\in\operatorname{co}(S)$に対して，$n$個の点$u_{k}\in U_{k}$（$k=1,2,\dotsc,n$）が存在し，$x$はこれらの凸結合で書ける．この凸結合を$x=\sum\lambda_{k}u_{k}$とおく．すると，$V_{i}$の元$v_{i}=\sum\eta_{i\mskip2mu\relax k}u_{k}$について

となるから，$\min_{i\in I}\lVert x-v_{i}\rVert\leq\varepsilon/2$である．よって，$\operatorname{co}(S)$は集合族

により被覆される．

なので$\alpha(\operatorname{co}(S))\leq\alpha(S)+2\varepsilon$である．$\varepsilon\to 0^{+}$で$\alpha(\operatorname{co}(S))\leq\alpha(S)$がしたがう．

後回しにした部分を証明する．$u_{k}\in U_{k}$（$k=1,2,\dotsc,n$）の凸結合の全体集合を$C$とする．すなわち

とおく．$C$は$S$を含むから，$C$が凸集合であることを示せれば，$\operatorname{co}(S)\subseteq C$がしたがうので，証明が完結する．$x,x'\in C$と$t\in\lbrack 0,1\rbrack$を任意にとる．$C$の定義から，$x$および$x'$は凸結合で

と書ける．ここで

とおくと

となる．各$U_{k}$は凸集合だから$(1-t_{k})u_{k}+t_{k}u_{k}'\in U_{k}$であり，$\sum\xi_{k}=1$なので，$(1-t)x+tx'$は$C$に属する．よって，$C$は凸集合である．

任意に$a\in K$をとる．また，$K$に含まれる閉凸集合$C$で，$a\in C$と$T(C)\subseteq C$を満たすものの全体集合を$\Sigma$とおく．

$K\in\Sigma$より$\Sigma$は空でない．また，$\Sigma$に属するすべての集合は$a$を元に持つ．よって，共通部分$B=\bigcap_{C\in\Sigma}C$は$a$を元に持ち，かつ$K$に含まれる閉凸集合となる．さらに

である．よって，$B$は$\Sigma$に属する最小の集合である．

$S=T(B)\cup\lbrace a\rbrace$とおくと，$\operatorname{\overline{co}}(S)$は$\Sigma$に属する．一方，$S\subseteq B$より$\operatorname{\overline{co}}(S)\subseteq B$なので，$B$の最小性から$\operatorname{\overline{co}}(S)=B$である．よって

であるが，$T$が$\alpha$-condensingだから，$B$は相対コンパクト集合でなければならない．$B$に含まれる$T(B)$も相対コンパクト集合なので，シャウダーの不動点定理より$T$は$B$上に不動点を有する．

有界だが相対コンパクトでない任意の$S\subseteq K$に対して，$\alpha(B(S))=0$より

であり，$A$は縮小写像だから$\alpha(A(S))\lt\alpha(S)$である．

$n$に関する帰納法で示す．$n=2$では自明に成り立つ．$n=k$での成立を仮定し，凸結合

が$C$に属することを証明する．$\lambda_{k+1}=1$のときは$x=x_{k+1}\in C$である．$\lambda_{k+1}\lt 1$のときは，帰納法の仮定から