条件を満たす関数$\bm{f}$があると仮定する．

とおくと，任意の$\bm{x}\in\bar{B}^{n}$，$\bm{n}\in S^{n-1}$に対して

である．つまり，関数$\bm{f_{\mathnormal{t}}}\colon\bar{B}^{n}\to\bar{B}^{n}$は$S^{n-1}$上の点を変えない．また，$\bm{g}(\bm{x})=\bm{f}(\bm{x})-\bm{x}$に関して

なので，$C=\max\lbrace\lVert\bm{J_{\bm{g}}}(\bm{x})\rVert_{2}\mid\lVert\bm{x}\rVert\leq 1\rbrace$とおくと

である．

仮に，異なる$\bm{x_{\mathrm{1}}},\bm{x_{\mathrm{2}}}\in\bar{B}^{n}$の組で$\bm{f_{\mathnormal{t}}} (\bm{x_{\mathrm{1}}})= \bm{f_{\mathnormal{t}}}(\bm{x_{\mathrm{2}}})$を満たすものがあれば，$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(\bm{x})=\bm{x}+t\bm{g}(\bm{x})$より

である．よって，$t\lt 1/C$のとき$\bm{f_{\mathnormal{t}}}$は単射である．また，$tC\lt 1$のとき$\bm{J_{\bm{f_{\mathnormal{t}}}}}(\bm{x})=\bm{I}+t\bm{J_{\bm{g}}}(\bm{x})$の逆行列はノイマン級数

で書ける．このとき，逆関数定理より$\bm{f_{\mathnormal{t}}^{\mathrm{-1}}}$は$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})$全体で$C^{1}$級だから，制限$\bm{f_{\mathnormal{t}}}\rvert_{B^{n}}$は像$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})$との同相写像である．よって，$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})$は開集合である．

$t\lt 1/C$の下で$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})=B^{n}$を示す．$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n}) \subsetneq B^{n}$を仮定する．このとき，$\partial(\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n}))\cap B^{n}$上の点$\bm{a}$が存在する．$\bm{a}\in\partial(\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n}))$なので，条件

を満たす点列$(\bm{x_{\mathnormal{i}}})_{i=1}^{\infty}$がある．さらに，$\bar{B}^{n}$の点列コンパクト性から$(\bm{x_{\mathnormal{i}}})_{i=1}^{\infty}$は収束する部分列$(\bm{x_{\mathnormal{i}}^{\mathnormal{\prime}}})_{i=1}^{\infty}$を持つ．この極限点を$\bm{x_{\mathnormal{\infty}}^{\mathnormal{\prime}}}$とおく．$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(\bm{x_{\mathnormal{\infty}}^{\mathnormal{\prime}}})=\bm{a}\in\partial(\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n}))$であり，$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})$は開集合だから境界と交わらない．よって$\bm{x_{\mathnormal{\infty}}^{\mathnormal{\prime}}}\in\bar{B}^{n}\setminus B^{n}=S^{n-1}$である．すると$\bm{a}=\bm{f_{\mathnormal{t}}}(\bm{x_{\mathnormal{\infty}}^{\mathnormal{\prime}}})=\bm{x_{\mathnormal{\infty}}^{\mathnormal{\prime}}}$だが，これは$\bm{a}\in B^{n}$に矛盾する．したがって$\bm{f_{\mathnormal{t}}}(B^{n})=B^{n}$である．

各$t\in\lbrack 0,1\rbrack$に対して

とおく．$\det\bm{J_{\bm{f_{\mathnormal{t}}}}}(\bm{x})=\det((1-t)\bm{I}+t\bm{J_{\bm{f}}}(\bm{x}))$は$t$の多項式関数であるから，$U(t)$も$t$の多項式関数である．

$\det\bm{J_{\bm{f_{\mathrm{0}}}}}(\bm{x})=\det\bm{I}=1$かつ，$t\lt 1/C$のとき$\bm{J_{\bm{f_{\mathnormal{t}}}}}(\bm{x})$は正則なので，中間値の定理より

である．よって，変数変換$\bm{u}=\bm{f_{\mathnormal{t}}}(\bm{x})$により

となる．右辺の値は$t$によらないから，区間$0\leq t\lt 1/C$では$U'(t)=0$である．この条件を満たす多項式関数は定数関数のほかにないので，すべての$t$について$U(t)=\operatorname{vol}(\bar{B}^{n})$である．

$\bm{f_{\mathrm{1}}}(\bm{x})=\bm{f}(\bm{x})\in S^{n-1}$だから，関数$\lVert\bm{f}(\bm{x})\rVert^{2}$の方向微分

の値は常に$0$である．左辺をライプニッツルールで計算すると

となるので

である．よって，線形写像$T_{\bm{x}}(\bm{v})=\bm{J_{\bm{f}}}(\bm{x})\bm{v}$の像は$\operatorname{span}\lbrace\bm{f}(\bm{x})\rbrace$の直交補空間に含まれるから$\operatorname{rank}\bm{J_{\bm{f}}}(\bm{x})=\operatorname{dim}(\operatorname{im}T_{\bm{x}})\lt n$である．すると$\det\bm{J_{\bm{f}}}(\bm{x})=0$，$U(1)=\int 0\,\mathrm{d}V=0$だが，これは$U(1)=\operatorname{vol}(\bar{B}^{n})$に矛盾する．したがって，条件を満たす関数$\bm{f}$は存在しない．

$\bm{f}\colon\bar{B}^{n}\to\bar{B}^{n}$を連続関数とする．ワイエルシュトラスの近似定理より，各成分が$\bm{x}$の多項式関数である関数$\bm{p_{\mathnormal{i}}}(\bm{x})$を

が成立するようにとれる．$\bm{q_{\mathnormal{i}}}(\bm{x})=(i/(i+1))\bm{p_{\mathnormal{i}}}(\bm{x})$とおくと

なので，関数列$(\bm{q_{\mathnormal{i}}})_{i=1}^{\infty}$は$C^{1}(\bar{B}^{n},\bar{B}^{n})$上の列であり，$\bm{f}$に一様収束する．

各$\bm{q_{\mathnormal{i}}}$は$\bar{B}^{n}$上に不動点を持つことを示す．不動点がないと仮定する．このとき，$\lambda$に関する2次方程式

は，$\lambda=0$のとき左辺の値が負なので，正の解と負の解を一つずつ持つ．正の解を$\lambda(\bm{x})$とおくと，関数$\bm{g}(\bm{x})=\bm{q_{\mathnormal{i}}}(\bm{x})+\lambda(\bm{x})(\bm{x}-\bm{q_{\mathnormal{i}}}(\bm{x}))$は$C^{1}(\bar{B}^{n},S^{n-1})$に属する．また，$\bm{n}\in S^{n-1}$のとき

より$\lambda(\bm{n})=1$，$\bm{g}(\bm{n})=\bm{n}$である．これは補題に矛盾するので，$\bm{q_{\mathnormal{i}}}$は$\bar{B}^{n}$上に不動点を持つ．

$\bar{B}^{n}$上にある$\bm{q_{\mathnormal{i}}}$の不動点の一つを$\bm{x_{\mathnormal{i}}}$とおく．$\bar{B}^{n}$の点列コンパクト性から，点列$(\bm{x_{\mathnormal{i}}})_{i=1}^{\infty}$は収束する部分列$(\bm{x_{\mathnormal{i(k)}}})_{k=1}^{\infty}$を持つ．極限点を$\bm{a}$とおくと

なので，$k\to\infty$によって$\lVert\bm{a}-\bm{f}(\bm{a})\rVert\leq 0$が得られる．したがって，$\bm{a}$が$\bm{f}$の不動点である．